НМТ 2025 · Математика · Авторська симуляція №2

Математика · 2025 рік · Авторська симуляція №2 · 22 завдань · 60 хв · Автор: Щоденник Абітурієнта

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    Учні 11-х класів брали участь у спортивних змаганнях з різних видів спорту. Результати кількості учасників за видами спорту відображено на діаграмі. Визначте, скільки учнів брало участь у цих змаганнях.Стовпчикова діаграма кількості учнів за видами спорту: футбол — 20, волейбол — 15, баскетбол — 20, легка атлетика — 25, плавання — 10.
    • А8080
    • Б9090
    • В9595
    • Г100100
    • Д105105

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    Бочка об'ємом 12001200 літрів на 34\frac{3}{4} заповнена водою. Скільки літрів води залишиться в бочці, якщо з неї використати 250250 літрів води?
    • А650650 л
    • Б500500 л
    • В750750 л
    • Г600600 л
    • Д450450 л

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    Укажіть тіло, яке утвориться внаслідок обертання рівнобічної трапеції навколо прямої aa (див. рисунок).Рівнобічна трапеція, більша основа якої лежить на прямій a; стрілка показує обертання навколо прямої a.
    • АРисунок А
      • Рисунок А
    • БРисунок Б
      • Рисунок Б
    • ВРисунок В
      • Рисунок В
    • ГРисунок Г
      • Рисунок Г
    • ДРисунок Д
      • Рисунок Д

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Спростіть вираз 5x−2(x+3)5x - 2(x + 3).
    • А5x2−65x^2 - 6
    • Б3x+63x + 6
    • В5x2+13x−65x^2 + 13x - 6
    • Г3x+33x + 3
    • Д3x−63x - 6

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    Розв'яжіть нерівність 23>x6\frac{2}{3} \gt \frac{x}{6}.
    • А(−∞;3)(-\infty ; 3)
    • Б(4;+∞)(4; +\infty )
    • В(9;+∞)(9; +\infty )
    • Г(−∞;4)(-\infty ; 4)
    • Д(3;+∞)(3; +\infty )

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    Трикутник ABCABC вписано в коло з центром у точці OO, що належить відрізку BCBC (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?
    I. Трикутник     ABCABC є прямокутним.
    II. Трикутник     AOCAOC є рівнобедреним.
    III. Трикутники     AOBAOB і AOCAOC є рівновеликими.Коло з центром O. Трикутник ABC вписано в коло, центр O лежить на стороні BC.
    • Алише I
    • Блише I та II
    • Влише I та III
    • Глише II та III
    • ДI, II та III

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    cos⁡510∘=\cos 510^\circ =
    • А12\frac{1}{2}
    • Б−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
    • В−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
    • Г−12-\frac{1}{2}
    • Д32\frac{\sqrt{3}}{2}

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    Графік функції y=exy = e^x паралельно перенесли на 22 одиниці праворуч уздовж осі xx. Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.
    • Аy=ex−2y = e^x - 2
    • Бy=ex+2y = e^{x + 2}
    • Вy=ex+2y = e^x + 2
    • Гy=e2xy = e^{2x}
    • Дy=ex−2y = e^{x - 2}

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    Маса Землі приблизно становить 6⋅10246 \cdot 10^{24} кг, а маса екзопланети — 4⋅10224 \cdot 10^{22} кг. У скільки разів маса Землі більша за масу екзопланети?
    • А150150
    • Б2020
    • В1515
    • Г300300
    • Д200200

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    У прямокутній системі координат на площині задано ромб ABCDABCD (див. рисунок). Визначте скалярний добуток векторів AC→\overrightarrow{AC} і BD→\overrightarrow{BD}.Ромб ABCD на координатній сітці: A(−4; 2), B(0; 5), C(4; 2), D(0; −1). Діагоналі AC і BD показано стрілками-векторами.
    • А4848
    • Б2424
    • В00
    • Г−48-48
    • Д−24-24

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння 2x+2−2x=122^{x + 2} - 2^x = 12.
    • А(−∞;−5)(-\infty ; -5)
    • Б[−5;−1)[-5; -1)
    • В[−1;1)[-1; 1)
    • Г[1;5)[1; 5)
    • Д[5;+∞)[5; +\infty )

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    У правильній чотирикутній піраміді всі ребра дорівнюють 44 см. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.
    • А16316\sqrt{3} см²
    • Б3232 см²
    • В32332\sqrt{3} см²
    • Г6464 см²
    • Д838\sqrt{3} см²

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    Суму nn перших членів геометричної прогресії задано формулою Sn=3n−1S_n = 3^n - 1. Знайдіть другий член цієї прогресії.
    • А22
    • Б33
    • В55
    • Г66
    • Д88

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    У паралелограмі ABCDABCD на стороні ABAB вибрано точку KK так, що AK=KB, AB⊥DKAK = KB,\ AB \perp DK. BC=d, ∠ADK=αBC = d,\ \angle ADK = \alpha. Знайдіть площу цього паралелограма.
    • Аd2sin⁡2αd^2 \sin 2\alpha
    • Бd22sin⁡2α\frac{d^2}{2 \sin 2\alpha}
    • В2d2sin⁡2α2d^2 \sin^2 \alpha
    • Гd2sin⁡2α\frac{d^2}{\sin 2\alpha}
    • Дd2sin⁡2α2\frac{d^2 \sin 2\alpha}{2}

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Розв'яжіть систему рівнянь {x+log⁡2y=3,2x−log⁡2y=9.\begin{cases} \sqrt{x} + \log_2 y = 3, \\ 2\sqrt{x} - \log_2 y = 9. \end{cases} Якщо (x0;y0)(x_0; y_0) – розв'язок системи, то x0⋅y0=x_0 \cdot y_0 =
    • А1616
    • Б44
    • В88
    • Г0,50{,}5
    • Д3232

  16. Завдання 16 · відповідність

    До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д), якщо a<3a \lt \sqrt{3}.
    • 1(a−3)2\sqrt{(a - \sqrt{3})^2}
    • 2a2−3a−3\frac{a^2 - 3}{a - \sqrt{3}}
    • 3log⁡313a\log_3 \frac{1}{3^a}
    • Аa−3a - \sqrt{3}
    • Бa+3a + \sqrt{3}
    • Вaa
    • Г3−a\sqrt{3} - a
    • Д−a-a

  17. Завдання 17 · відповідність

    Установіть відповідність між функцією (1–3) та властивістю її графіка (А – Д).
    • 1y=tg⁡xy = \operatorname{tg} x
    • 2y=x2+1y = x^2 + 1
    • 3y=lg⁡xy = \lg x
    • Амає з графіком функції y=xy = x лише одну спільну точку
    • Брозміщений лише в I та II координатних чвертях
    • Впроходить через точку (1;0)(1; 0)
    • Гспадає на всій області визначення
    • Дсиметричний відносно початку координат

  18. Завдання 18 · відповідність

    У трикутнику ABCABC відомо, що AB=8AB = 8 см, BC=10BC = 10 см, ∠B=60∘\angle B = 60^\circ. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).
    • 1проєкція ACAC на BCBC
    • 2ACAC
    • 3діаметр кола, описаного навколо трикутника ABCABC
    • А2212\sqrt{21} см
    • Б66 см
    • В474\sqrt{7} см
    • Г44 см
    • Д272\sqrt{7} см

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    Обчисліть інтеграл ∫1e23x+12x2+4x dx\int\limits_{1}^{e^2} \frac{3x + 12}{x^2 + 4x} \, dx.

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    У кафе «Трапеза» пропонують 55 видів салатів, 88 видів основних страв та 33 види десертів. Окрім цього, є 22 види комплексних обідів, які включають салат, основну страву та десерт. Скільки всього існує варіантів замовити салат, основну страву та десерт у цьому кафе, якщо страви з комплексного обіду не можна замовляти окремо?

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 через сторону CD=8CD = 8 см нижньої основи й середину ребра BB1BB_1 проведено площину α\alpha. Грань AA1D1DAA_1D_1D є квадратом. Діагональ грані A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 дорівнює 1212 см. Визначте площу (у см²) перерізу паралелепіпеда площиною α\alpha.

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Знайдіть найбільше ціле значення aa, за якого рівняння (∣x−5a∣−7)⋅2−x=0(|x - 5a| - 7) \cdot \sqrt{2 - x} = 0 має лише три різні корені.