НМТ 2025 · Математика · Авторська симуляція №1

Математика · 2025 рік · Авторська симуляція №1 · 22 завдань · 60 хв · Автор: Щоденник Абітурієнта

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    (−3n4)2=(-3n^{4})^{2} =
    • А9n69n^{6}
    • Б−3n8-3n^{8}
    • В9n89n^{8}
    • Г−9n6-9n^{6}
    • Д−3n6-3n^{6}

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про активності Катерини протягом трьох годин. Скориставшись діаграмою, продовжте речення так, щоб утворилось правильне твердження: «Час у годинах, який витратила Катерина на волонтерську діяльність, ...Кругова діаграма активностей Катерини: волонтерська діяльність займає половину круга, танці — приблизно третину, бісероплетіння й малювання — два невеликі однакові сектори.
    • Абільший за 22 год».
    • Будвічі більший за час на бісероплетіння».
    • Вменший за час на танці».
    • Гстановить половину від загального часу активності».
    • Дналежить проміжку [0;1][0;1]».

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    На рисунку відрізок BDBD – бісектриса кута BB трикутника ABCABC. ∠A=80∘\angle A=80^\circ, ∠C=40∘\angle C=40^\circ. Знайдіть градусну міру кута BDCBDC.Трикутник ABC з кутом A = 80° і кутом C = 40°. З вершини B проведено відрізок BD до сторони AC.
    • А110∘110^\circ
    • Б100∘100^\circ
    • В120∘120^\circ
    • Г90∘90^\circ
    • Д130∘130^\circ

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Розв'яжіть рівняння x23=3x\frac{x^2}{3} = 3x.
    • А00
    • Б0;30;3
    • В0;90;9
    • Г33
    • Д99

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    Точка AA розташована поза сферою з центром у точці OO, заданої рівнянням x2+y2+z2=144x^2+y^2+z^2=144. Укажіть можливе значення модуля вектора OA→\overrightarrow{OA}.
    • А66
    • Б1313
    • В1212
    • Г1111
    • Д77

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    На рисунку зображено фрагмент графіка парної функції y=f(x)y=f(x), визначеної на проміжку [−3;3][-3;3]. Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?Графік функції y = f(x) на координатній сітці на проміжку від −3 до 0: починається в точці (−3; −3), зростає, перетинає вісь x між −2 і 0 і закінчується в точці (0; 2).
    • Ажодного
    • Бодин
    • Вдва
    • Гтри
    • Дчотири

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    Марія вирішила інвестувати в перемогу України, купивши 55 державних військових облігацій. Номінальна вартість кожної облігації становить 10001000 грн. Після закінчення терміну дії облігацій вона отримала на свій рахунок 59005900 грн. Визначте відсоток, що нарахували Марії за цими облігаціями.
    • А20%20\%
    • Б16%16\%
    • В12%12\%
    • Г15%15\%
    • Д18%18\%

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    Які з наведених тверджень є правильними?
    I. Існує прямокутник, діагоналі якого перпендикулярні.
    II. Існує трапеція, середня лінія якої дорівнює її висоті.
    III. Існує ромб, більша діагональ його дорівнює сумі двох його сторін.
    • Алише I
    • Блише I та II
    • Влише I та III
    • Глише II та III
    • ДI, II та III

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    Спростіть вираз cos⁡(540∘+α)\cos(540^\circ + \alpha).
    • А−cos⁡α-\cos \alpha
    • Б1sin⁡α\frac{1}{\sin \alpha}
    • Вsin⁡α\sin \alpha
    • Гcos⁡α\cos \alpha
    • Д−sin⁡α-\sin \alpha

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    Розв'яжіть нерівність log⁡2x<1+log⁡23\log_2 x < 1 + \log_2 3.
    • А(0;6)(0;6)
    • Б(−∞;4)(-\infty;4)
    • В(6;+∞)(6;+\infty)
    • Г(−∞;6)(-\infty;6)
    • Д(0;4)(0;4)

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з квадрата і чотирьох однакових рівносторонніх трикутників, сторони яких дорівнюють 66 см. Знайдіть довжину висоти цього тіла.Розгортка: квадрат, до кожної сторони якого прикладено рівносторонній трикутник.
    • А232\sqrt{3} см
    • Б66 см
    • В333\sqrt{3} см
    • Г33 см
    • Д323\sqrt{2} см

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    Знайдіть похідну функції f(x)=2x3−1x3+ln⁡3f(x) = 2x^{3} - \frac{1}{x^{3}} + \ln 3.
    • Аf′(x)=6x2+3x4f'(x) = 6x^{2} + \frac{3}{x^{4}}
    • Бf′(x)=x42+12x2+13f'(x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{3}
    • Вf′(x)=6x2+3x2f'(x) = 6x^{2} + \frac{3}{x^{2}}
    • Гf′(x)=6x2+3x4+13f'(x) = 6x^{2} + \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{3}
    • Дf′(x)=6x2+13x2f'(x) = 6x^{2} + \frac{1}{3x^{2}}

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    (a−1)−1−aa−1=(a - 1)^{-1} - \frac{a}{a - 1} =
    • А−a2+a−1a−1\frac{-a^{2} + a - 1}{a - 1}
    • Б1−a1 - a
    • В−1-1
    • Гa−1a - 1
    • Д11

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    У паралелограмі ABCDABCD на стороні ADAD вибрано точку KK так, що BK⊥ADBK \perp AD, BK:KD=1:2BK:KD=1:2, ∠ABK=α\angle ABK = \alpha (див. рисунок). Визначте площу цього паралелограма, якщо CD=dCD=d.Паралелограм ABCD, точка K на стороні AD. Відрізок BK перпендикулярний до AD; кут між BA і BK позначено α. Сторону CD позначено d.
    • Аd2(cos⁡α+2sin⁡α)sin⁡αd^{2} (\cos \alpha + 2 \sin \alpha) \sin \alpha
    • Бd2(1sin⁡α+2cos⁡α)1cos⁡αd^{2} \left( \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{2}{\cos \alpha} \right) \frac{1}{\cos \alpha}
    • Вd2(sin⁡α+2cos⁡α)sin⁡αd^{2} (\sin \alpha + 2 \cos \alpha) \sin \alpha
    • Гd2(sin⁡α+2cos⁡α)cos⁡αd^{2} (\sin \alpha + 2 \cos \alpha) \cos \alpha
    • Дd2(cos⁡α+2sin⁡α)cos⁡αd^{2} (\cos \alpha + 2 \sin \alpha) \cos \alpha

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Укажіть проміжок, якому належить добуток коренів рівняння x4−6x2+8x+2=0\frac{x^4 - 6x^2 + 8}{x+2} = 0.
    • А(−∞;−3)(-\infty;-3)
    • Б[−3;0)[-3;0)
    • В[0;3)[0;3)
    • Г[3;6)[3;6)
    • Д[6;+∞)[6;+\infty)

  16. Завдання 16 · відповідність

    Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д).
    • 1(−3)2+(−5)33\sqrt{(-3)^{2}} + \sqrt[3]{(-5)^{3}}
    • 22sin⁡2π6+2cos⁡2π62 \sin^{2} \frac{\pi}{6} + 2 \cos^{2} \frac{\pi}{6}
    • 3log⁡313\log_{3} \frac{1}{\sqrt{3}}
    • А−2-2
    • Б−8-8
    • В22
    • Г−12-\frac{1}{2}
    • Д88

  17. Завдання 17 · відповідність

    На рисунку зображено графік функції y=f(x)y=f(x), визначеної на проміжку [−4;3][-4;3]. Узгодьте функцію (1–3) з ординатою (А – Д) точки перетину графіка цієї функції з графіком функції y=f(x)y=f(x).Графік функції y = f(x) на координатній сітці на проміжку від −4 до 3: горизонтальний відрізок на висоті 4 від x = −4 до x = −1, далі відрізок прямої до точки (3; 0).
    • 1y=x−1y=x-1
    • 2y=−4xy=-\frac{4}{x}
    • 3y=2xy=2^x
    • Аy=0y=0
    • Бy=1y=1
    • Вy=2y=2
    • Гy=3y=3
    • Дy=4y=4

  18. Завдання 18 · відповідність

    На рисунку зображено прямокутник ABCDABCD і ромб CKMDCKMD, що лежать в одній площині. CM=6CM=6. Периметр ромба дорівнює 2020 см, а площа прямокутника – 6060 см². Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).Прямокутник ABCD і ромб CKMD зі спільною стороною CD; ромб прилягає до прямокутника праворуч.
    • 1Сторона ромба CKMDCKMD
    • 2Радіус кола, описаного навколо прямокутника ABCDABCD
    • 3Висота ромба CKMDCKMD
    • А44 см
    • Б4,84{,}8 см
    • В55 см
    • Г6,56{,}5 см
    • Д88 см

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    На футбольному стадіоні розташовано 2121 ряд сидінь: у першому ряду 4545 місць, а в кожному наступному ряду на однакову кількість місць більше, ніж у попередньому. В останньому ряду розташовано 105105 місць. Визначте кількість місць у п'ятому ряду цього стадіону.

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    Задано правильну трикутну призму ABCA1B1C1ABCA_1B_1C_1, основою якої є трикутник ABCABC з периметром 2424 см. Діагональ бічної грані дорівнює 535\sqrt{3} см. Через висоту BKBK трикутника ABCABC та вершину C1C_1 проведено площину α\alpha. Знайдіть площу (у см²) перерізу призми площиною α\alpha.

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    У міській лікарні працюють лікарі двох категорій: лікарі першої категорії та лікарі вищої категорії. Середня місячна заробітна плата лікаря першої категорії становить 15 00015\,000 грн, а лікаря вищої категорії – 25 00025\,000 грн. У відділі кадрів відомо, що лікарів першої категорії на 1010 осіб більше, ніж лікарів вищої категорії. Визначте середню місячну заробітну плату (у грн) одного лікаря в цій лікарні, якщо ймовірність випадково обрати зі списку лікаря вищої категорії становить 0,40{,}4.

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Знайдіть найменше значення aa, за якого система рівнянь {sin⁡x−4=3a−21+y222+y2−3=a+3sin⁡x\begin{cases} \sin x - 4 = 3a - 2^{1+y^{2}} \\ 2^{2+y^{2}} - 3 = a + 3 \sin x \end{cases}, має розв'язки.