НМТ 2025 · Математика · Авторська симуляція №0

Математика · 2025 рік · Авторська симуляція №0 · 22 завдань · 60 хв · Автор: Щоденник Абітурієнта

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    Укажіть проміжок, якому належить значення виразу 2−32^{-3}.
    • А(−10;−7](-10; -7]
    • Б(−7;0](-7; 0]
    • В(0;1](0; 1]
    • Г(1;7](1; 7]
    • Д(7;10](7; 10]

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1. Укажіть правильне твердження.Куб ABCDA₁B₁C₁D₁: нижня основа ABCD, верхня A₁B₁C₁D₁. Ребра A₁D₁ і AD — спереду, ребра B₁C₁ і BC — ззаду; невидимі ребра показано пунктиром.
    • АПрямі AD1AD_1 і AB1AB_1 перпендикулярні.
    • БПрямі BB1BB_1 і DD1DD_1 лежать в одній площині.
    • ВПрямі ACAC і B1D1B_1D_1 паралельні.
    • ГПлощини (AA1B1)(AA_1B_1) і (CC1A1)(CC_1A_1) перпендикулярні.
    • ДПрямі AB1AB_1 і B1CB_1C мимобіжні.

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    У таблиці наведено інформацію про вартість одного квитка деяких атракціонів парку розваг. Микола має у своєму розпорядженні 200200 грн. Він навмання обирає один атракціон для відвідування з йому доступних. Визначте ймовірність того, що хлопець відвідає атракціон «Американська гірка».
    Назва атракціонуВартість одного квиткаНазва атракціонуВартість одного квиткаАвтодром120 грнЗліт200 грнАмериканська гірка180 грнКанатна дорога80 грнБудинок жахів150 грнКатапульта250 грнВежа падіння220 грнКолесо огляду100 грн\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Назва атракціону} & \text{Вартість одного квитка} & \text{Назва атракціону} & \text{Вартість одного квитка} \\ \hline \text{Автодром} & \text{120 грн} & \text{Зліт} & \text{200 грн} \\ \hline \text{Американська гірка} & \text{180 грн} & \text{Канатна дорога} & \text{80 грн} \\ \hline \text{Будинок жахів} & \text{150 грн} & \text{Катапульта} & \text{250 грн} \\ \hline \text{Вежа падіння} & \text{220 грн} & \text{Колесо огляду} & \text{100 грн} \\ \hline \end{array}
    • А18\frac{1}{8}
    • Б15\frac{1}{5}
    • В78\frac{7}{8}
    • Г16\frac{1}{6}
    • Д56\frac{5}{6}

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Укажіть корінь рівняння ∣x∣5=2,5\frac{|x|}{5} = 2{,}5.
    • А−12,5-12{,}5
    • Б2,52{,}5
    • В−2-2
    • Г0,50{,}5
    • Д−10-10

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    Три дороги ll, mm та nn попарно перетинаються на рівнинній місцевості (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α\alpha.Три прямі l, m і n, що попарно перетинаються. Прямі m і n перпендикулярні. Кут між прямими n і l ззовні трикутника позначено як 155°. Кут α — між прямими l і m.
    • А25∘25^\circ
    • Б35∘35^\circ
    • В45∘45^\circ
    • Г55∘55^\circ
    • Д65∘65^\circ

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    Спростіть вираз a2+aba2−b2\frac{a^2 + ab}{a^2 - b^2}.
    • А−ab-\frac{a}{b}
    • Бaa+b\frac{a}{a + b}
    • Вaa
    • Гab\frac{a}{b}
    • Дaa−b\frac{a}{a - b}

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    Вартість поїздки на таксі складається з початкової плати за виклик у розмірі 5050 грн та вартості проїзду за тарифом 1515 грн за кілометр. Скільки буде коштувати виклик таксі на відстань 88 км, якщо компанія надає знижку 10 %10\,\%?
    • А160160 грн
    • Б143143 грн
    • В158158 грн
    • Г153153 грн
    • Д165165 грн

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    Які з наведених тверджень є правильними?
    I. Периметр квадрата вдвічі більший за сторону квадрата.
    II. Радіус кола, уписаного в квадрат, удвічі менший за сторону квадрата.
    III. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів.
    • Алише II
    • Блише III
    • Влише II та III
    • Глише I та III
    • ДI, II та III

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    На рисунку зображено графік функції y=f(x)y = f(x), визначеної на проміжку [−2;5][-2; 5]. Знайдіть множину значень функції y=2f(x−1)y = 2f(x - 1).Графік функції y = f(x) на координатній сітці на проміжку від −2 до 5. Починається в точці (−2; −1), зростає до максимуму в точці (1; 4) і спадає до точки (5; 1).
    • А[−2;8][-2; 8]
    • Б[−5;9][-5; 9]
    • В[−1;4][-1; 4]
    • Г[−3;7][-3; 7]
    • Д[−4;10][-4; 10]

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    Скільки коренів має рівняння sin⁡xcos⁡x=1\frac{\sin x}{\cos x} = 1 на проміжку [0;2π][0; 2\pi]?
    • Ажодного
    • Бодин
    • Вдва
    • Гтри
    • Дбільше трьох

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3636 см², а її висота на 22 см менша за сторону основи. Обчисліть площу повної поверхні піраміди.
    • А4848 см²
    • Б6060 см²
    • В9696 см²
    • Г108108 см²
    • Д156156 см²

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    Скільки всього цілих чисел містить проміжок (−643;sin⁡π6)\left(\sqrt[3]{-64}; \sin\frac{\pi}{6}\right)?
    • А33
    • Б44
    • В55
    • Г66
    • Д77

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    В арифметичній прогресії (an)(a_n) відомо, що a2=a1+3, a3=8a_2 = a_1 + 3,\ a_3 = 8. Знайдіть суму восьми перших членів цієї прогресії.
    • А100100
    • Б7777
    • В125125
    • Г112112
    • Д7575

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    На стороні ADAD прямокутника ABCDABCD вибрано точку KK так, що ∠CBK=α, ∠BKC=90∘\angle CBK = \alpha,\ \angle BKC = 90^\circ (див. рисунок). AB=dAB = d. Визначте довжину сторони ADAD.Прямокутник ABCD, точка K на стороні AD. Проведено відрізки BK і CK; кут BKC позначено як прямий, кут між BC і BK — як α. Сторону AB позначено d.
    • Аd(1tg⁡α+sin⁡α)d\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} + \sin\alpha\right)
    • Бd(1tg⁡α+tg⁡α)d\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} + \operatorname{tg}\alpha\right)
    • Вd(sin⁡α+cos⁡α)d(\sin\alpha + \cos\alpha)
    • Гd(1tg⁡α+1cos⁡α)d\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} + \frac{1}{\cos\alpha}\right)
    • Дd(1tg⁡α+cos⁡α)d\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} + \cos\alpha\right)

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Розв'яжіть систему нерівностей {0,5x⩾1,lg⁡(x+2)<1.\begin{cases} 0{,}5^x \geq 1, \\ \lg(x + 2) < 1. \end{cases}
    • А[0;8)[0; 8)
    • Б(−∞;0](-\infty; 0]
    • В(−∞;−1)(-\infty; -1)
    • Г(−2;0](-2; 0]
    • Д(−∞;8)(-\infty; 8)

  16. Завдання 16 · відповідність

    Установіть відповідність між виразом (1–3) та точкою (А – Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення цього виразу, якщо a=12a = \frac{1}{2}.Координатна пряма з точками K у −2, L у −1, M у 0, N у 1 і P у 2.
    • 14a4^a
    • 2log⁡a2\log_a 2
    • 3(a2)5a3⋅a7\frac{(a^2)^5}{a^3 \cdot a^7}
    • АKK
    • БLL
    • ВMM
    • ГNN
    • ДPP

  17. Завдання 17 · відповідність

    Коло, довжина якого 16π16\pi см, дотикається до паралельних прямих mm і nn (див. рисунок). Точки AA і KK належать прямій mm, а точки C,B,MC, B, M – прямій nn, ∠C=90∘, AB=20\angle C = 90^\circ,\ AB = 20 см. Площа трикутника BKMBKM дорівнює 192192 см². Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).Дві паралельні горизонтальні прямі: m угорі й n унизу. Коло дотикається до обох прямих. На прямій m — точки A і K, на прямій n — точки C, B і M. Відрізок AC перпендикулярний до прямих; проведено відрізки AB, BK і KM.
    • 1діаметр кола
    • 2BCBC
    • 3BMBM
    • А88 см
    • Б1212 см
    • В1616 см
    • Г1818 см
    • Д2424 см

  18. Завдання 18 · відповідність

    Установіть відповідність між функцією (1–3) та її властивістю (А – Д).
    • 1y=cos⁡xy = \cos x
    • 2y=x+2y = \sqrt{x + 2}
    • 3y=2x−4y = \frac{2}{x - 4}
    • Аграфік функції розташований лише в I та III координатних чвертях
    • Бє непарною
    • Вє спадною на області визначення
    • Гграфік функції проходить через точку (0;1)(0; 1)
    • Дне визначена в точці x=−4x = -4

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    Знайдіть похідну функції f(x)=x⋅(6x−5)f(x) = \sqrt{x} \cdot (6x - 5) у точці з абсцисою x0=19x_0 = \frac{1}{9}.

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    У прямокутній системі координат у просторі задано точки A(−4;3;7), B(10;1;2)A(-4; 3; 7),\ B(10; 1; 2). Відомо, що довжина вектора c⃗\vec{c} втричі менша за довжину вектора AB→\overrightarrow{AB}. Визначте скалярний добуток векторів c⃗\vec{c} і AB→\overrightarrow{AB}, якщо кут між цими векторами дорівнює 60∘60^\circ.

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    У 2022 році невеликий стартап виробляв по 230230 одиниць гаджетів щомісяця. Завдяки вдалій рекламній кампанії за 88 місяців 2023 року було випущено 20002000 гаджетів. Визначте середню кількість гаджетів, яку виробляв стартап щомісяця за останні 2020 місяців.

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Визначте кількість усіх цілих значень aa з проміжку (−15;15)(-15; 15), за кожного з яких рівняння 6−x=x2−ax+2a\sqrt{6 - x} = \sqrt{x^2 - ax + 2a} має лише один корінь.