НМТ 2025 · Математика · Основна сесія, 18.06 (реконструкція)

Математика · 2025 рік · Основна сесія, 18.06 (реконструкція) · 22 завдань · 60 хв · Автор: Щоденник Абітурієнта

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    Укажіть розв’язок рівняння 5−x4=3\frac{5-x}{4} = 3
    • А1717
    • Б22
    • В−7-7
    • Г−17-17
    • Д77

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    У суміші цибулин тюльпанів рожеві становлять третину всіх тюльпанів, білі – половину, а чорні – решту. Яка ймовірність того, що з навмання взятої цибулини виросте білий або рожевий тюльпан?
    • А45\frac{4}{5}
    • Б16\frac{1}{6}
    • В25\frac{2}{5}
    • Г15\frac{1}{5}
    • Д56\frac{5}{6}

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    На рисунку зображено ромб ABCDABCD. Периметр трикутника ABCABC дорівнює 1818 см, AC=5AC = 5 см. Знайдіть периметр ромба.Ромб ABCD з проведеною діагоналлю AC
    • А1313 см
    • Б3636 см
    • В4040 см
    • Г2626 см
    • Д5252 см

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Спростіть вираз a2+2a2a+4\frac{a^2 + 2a}{2a + 4}
    • Аa24\frac{a^2}{4}
    • Бa2\frac{a}{2}
    • В4a24a^2
    • Г2a2a
    • Дa4\frac{a}{4}

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    На рисунку зображено трикутну піраміду SABCSABC з основою ABCABC. SMSM – апофема піраміди. Бічною гранню цієї піраміди єТрикутна піраміда SABC; M — точка на ребрі AB, SM перпендикулярна до AB
    • АSASA
    • БSCMSCM
    • ВABCABC
    • ГABSABS
    • ДSBSB

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    Укажіть із-поміж наведених рисунок, на якому може бути зображено графік функції y=kx+by = kx + b, якщо k=0k = 0.
    • АРисунок А
      • Рисунок А
    • БРисунок Б
      • Рисунок Б
    • ВРисунок В
      • Рисунок В
    • ГРисунок Г
      • Рисунок Г
    • ДРисунок Д
      • Рисунок Д

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    Які з наведених тверджень є правильними?

    I. Середня лінія трапеції проходить через середини діагоналей.
    II. Середня лінія трапеції більша від половини більшої основи.
    III. Середня лінія трапеції ділить її на дві рівновеликі трапеції.
    • АI, II та III
    • Блише II
    • Влише III
    • Глише I та II
    • Длише I та III

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    ∣1−0,5−3∣=|1 - 0{,}5^{-3}| =
    • А77
    • Б0,1250{,}125
    • В0,8750{,}875
    • Г1,1251{,}125
    • Д1,51{,}5

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    Водонапірний насос має пропускну здатність 55 літрів води за хвилину. Визначте максимальну кількість води, яка може бути використана для миття рук, що триває 22 хвилини.
    • А22 л
    • Б55 л
    • В77 л
    • Г1010 л
    • Д2525 л

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    У прямокутній системі координат у просторі задано дві сфери, що мають внутрішній дотик (див. рисунок). A(9;−2;4)A(9; -2; 4) – точка дотику сфер, B(1;7;−8)B(1; 7; -8) – центр меншої сфери. Яким найменшим з-поміж наведених може бути радіус сфери з центром у точці OO?Більша сфера з центром O і всередині неї менша сфера з центром B; сфери дотикаються в точці A, центр O лежить поза меншою сферою
    • А3636
    • Б2121
    • В1717
    • Г4242
    • Д5656

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    Розв’яжіть нерівність 10x−2>110^{x-2} \gt 1.
    • А(−∞;2)(- \infty; 2)
    • Б(−2;+∞)(-2; + \infty)
    • В(2;+∞)(2; + \infty)
    • Г(2,1;+∞)(2{,}1; +\infty)
    • Д(3;+∞)(3; + \infty)

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    У прямокутнику ABCDABCD точка LL належить стороні ADAD, ACAC — діагональ прямокутника, що утворює з більшою його стороною кут α\alpha (див. рисунок). AL=3AL = 3 см, AO=4AO = 4 см, OC=16OC = 16 см. Знайдіть sin⁡α\sin \alpha.Прямокутник ABCD, у якого сторона AB довша за BC; точка L на стороні AD, відрізок BL перетинає діагональ AC у точці O; кут α — між діагоналлю AC і стороною CD
    • А35\frac{3}{5}
    • Б34\frac{3}{4}
    • В23\frac{2}{3}
    • Г14\frac{1}{4}
    • Д45\frac{4}{5}

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    У арифметичній прогресії (ana_n) відомо, що a6−a1=−30a_6 - a_1 = -30. Знайдіть значення виразу a1−a3a_1 - a_3.
    • А−12-12
    • Б66
    • В−6-6
    • Г3030
    • Д1212

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    Укажіть проміжок, якому належить значення виразу 2cos⁡450∘+tg⁡(−60∘)2 \cos 450^\circ + \operatorname{tg} (-60^\circ).
    • А[−3;−2)[-3; -2)
    • Б[−2;−1)[-2; -1)
    • В[−1;0)[-1; 0)
    • Г[0;1)[0; 1)
    • Д[1;2)[1; 2)

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Розв’яжіть рівняння 2(x2−x)=x2+32(x^2 - x) = x^2 + 3.
    • А−1;3-1; 3
    • Б∅\varnothing
    • В−2;1-2; 1
    • Г−3;1-3; 1
    • Д1−102;1+102\frac{1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{1 + \sqrt{10}}{2}

  16. Завдання 16 · відповідність

    Доберіть до виразу (1–3) його значення (А – Д), якщо a=2a = \sqrt{2}.
    • 1a6a^6
    • 2(a−3)(a+3)(a - 3)(a + 3)
    • 381log⁡3a81^{\log_3 a}
    • А−7-7
    • Б−1-1
    • В44
    • Г88
    • Д6464

  17. Завдання 17 · відповідність

    Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А – Д).
    • 1y=lg⁡xy = \lg x
    • 2y=1xy = \frac{1}{x}
    • 3y=(x+1)2y = (x+1)^2
    • Азростає на всій області визначення
    • Бпарна
    • Вмає точку максимуму
    • Гне визначена лише в одній точці
    • Дмає точку мінімуму

  18. Завдання 18 · відповідність

    На паралельних прямих nn і mm розміщено круговий сектор ABCABC, рівнобедрений трикутник DKLDKL (DK=KLDK = KL) й паралелограм LMNPLMNP (див. рисунок). Площа сектора ABCABC дорівнює 64π64\pi см², площа паралелограма LMNPLMNP дорівнює 288288 см², DK=20DK = 20 см. Увідповідніть відрізок (1–3) та його довжину (А – Д).Дві паралельні прямі m (зверху) і n (знизу). Між ними: круговий сектор з центром B на прямій m, радіус BA перпендикулярний до прямих, точка C на прямій m; рівнобедрений трикутник DKL з вершиною K на прямій m і основою DL на прямій n; паралелограм LMNP з вершинами M, N на прямій m і L, P на прямій n
    • 1ABAB
    • 2DLDL
    • 3LPLP
    • А1212 см
    • Б1616 см
    • В1818 см
    • Г2020 см
    • Д2424 см

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    Визначте значення aa, за якого система рівнянь {0,2x+y2=3a+12,0,2x−1+3y2=7a+42\begin{cases} 0{,}2^x + y^2 = 3a + 12, \\ 0{,}2^{x-1} + 3y^2 = 7a + 42 \end{cases} має єдиний розв’язок.

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    Відомо, що ∫−12f(x)dx=9\int_{-1}^{2} f(x)dx = 9, ∫−12g(x)dx=−7\int_{-1}^{2} g(x)dx = -7. Обчисліть ∫−12(3f(x)−2g(x)+6x)dx\int_{-1}^{2} (3f(x) - 2g(x) + 6x)dx.

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих смартфонів протягом 55 місяців. На скільки відсотків середня кількість проданих за місяць смартфонів перевищує кількість смартфонів, проданих у квітні?Стовпчаста діаграма кількості проданих смартфонів: січень — 250, лютий — 150, березень — 300, квітень — 200, травень — 350

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Конус і правильна чотирикутна призма мають рівні висоти. Радіус кола, описаного навколо основи призми дорівнює радіусу основи конуса. Визначте об’єм (у см³) призми, якщо діагональ її основи дорівнює 1616 см, а твірна конуса – 1717 см.