НМТ 2025 · Математика · Основна сесія, 04.06 (реконструкція)

Математика · 2025 рік · Основна сесія, 04.06 (реконструкція) · 22 завдань · 60 хв · Автор: Щоденник Абітурієнта

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    3:0,3=3 : 0{,}3 =
    • А2,72{,}7
    • Б0,10{,}1
    • В19\frac{1}{9}
    • Г1010
    • Д0,90{,}9

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    У кав’ярні пропонують 1010 видів десертів і 1212 видів кави. Відвідувач хоче замовити один десерт або одну чашку кави у цьому кафе. Скільки всього різних варіантів замовлення є у відвідувача?
    • А120120
    • Б1212
    • В6060
    • Г1010
    • Д2222

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    На рисунку зображено чотирикутник ABCDABCD. Знайдіть градусну міру невідомого кута CC.Чотирикутник ABCD з прямими кутами A і B; кут D дорівнює 100°, кут C позначено знаком питання
    • А100∘100^\circ
    • Б90∘90^\circ
    • В80∘80^\circ
    • Г120∘120^\circ
    • Д50∘50^\circ

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Розв’яжіть рівняння 3x+1=813^{x+1} = 81.
    • А55
    • Б33
    • В22
    • Г−3-3
    • Д44

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1. Укажіть кількість прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними до прямої ABAB.Куб ABCDA1B1C1D1
    • Ажодної
    • Блише одна
    • Влише дві
    • Глише три
    • Дбільше трьох

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    На рисунку зображено графік функції y=f(x)y = f(x), визначеної на проміжку [−5;5][-5; 5]. Укажіть ординату точки перетину цього графіка з віссю yy.Графік функції y = f(x) на проміжку [−5; 5]: від точки (−5; −3) зростає, перетинає вісь x при x = −4, досягає максимуму 5 при x = −2, спадає, перетинає вісь y у точці (0; 3), досягає мінімуму 2 при x = 1 і зростає до точки (5; 7)
    • А11
    • Б−3-3
    • В33
    • Г−1-1
    • Д00

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    У ромбі ABCDABCD з вершини тупого кута проведено висоту BMBM, яка ділить сторону ADAD навпіл (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

    I.     BM⊥BCBM \perp BC.
    II. Трикутник     ABDABD є рівностороннім.
    III.     ∠BAD\angle BAD удвічі менший від ∠ADC\angle ADC.Ромб ABCD; з вершини B проведено висоту BM до сторони AD, M — середина AD
    • Алише I
    • Блише I та II
    • Влише I та III
    • Глише II та III
    • ДI, II та III

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    Спростіть вираз p2⋅(p63)4p^2 \cdot (\sqrt[3]{p^6})^4.
    • Аp16p^{16}
    • Бp14p^{14}
    • Вp10p^{10}
    • Гp8p^8
    • Дp12p^{12}

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    Цукерки розфасовуються в коробки по 66 штук у кожній. Якому з наведених значень може дорівнювати загальна кількість цукерок, якщо всі вони були розфасовані в коробки без залишку?
    • А102102
    • Б9292
    • В112112
    • Г9898
    • Д128128

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    У прямокутній системі координат у просторі задано точки C(−1;3;−4)C(-1; 3; -4) і DD. Точка DD є проєкцією точки CC на вісь xx. Знайдіть відстань між точками CC і DD.
    • А10\sqrt{10}
    • Б17\sqrt{17}
    • В11
    • Г55
    • Д44

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log⁡5x+1=log⁡512\log_5 x + 1 = \log_5 12.
    • А[0;2)[0; 2)
    • Б[2;4)[2; 4)
    • В[4;6)[4; 6)
    • Г[6;8)[6; 8)
    • Д[8;+∞)[8; +\infty)

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    У паралелограмі ABCDABCD діагоналі перетинаються в точці OO. Знайдіть довжину сторони ADAD паралелограма, якщо AC=8AC = 8 см, BD=6BD = 6 см, cos⁡∠AOD=−14\cos \angle AOD = -\frac{1}{4}.
    • А31\sqrt{31} см
    • Б272\sqrt{7} см
    • В22\sqrt{22} см
    • Г55 см
    • Д19\sqrt{19} см

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    Укажіть первісну функції f(x)=3cos⁡x−xf(x) = 3 \cos x - x.
    • АF(x)=−3sin⁡x−x22F(x) = -3 \sin x - \frac{x^2}{2}
    • БF(x)=3sin⁡x−1F(x) = 3 \sin x - 1
    • ВF(x)=3sin⁡x−x22F(x) = 3 \sin x - \frac{x^2}{2}
    • ГF(x)=3sin⁡xF(x) = 3 \sin x
    • ДF(x)=−3sin⁡x−1F(x) = -3 \sin x - 1

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    (25x+13)(13−25x)=\left(\frac{2}{5}x + \frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3} - \frac{2}{5}x\right) =
    • А425x2−19\frac{4}{25}x^2 - \frac{1}{9}
    • Б19−415x+425x2\frac{1}{9} - \frac{4}{15}x + \frac{4}{25}x^2
    • В425x2+19\frac{4}{25}x^2 + \frac{1}{9}
    • Г25x2−13\frac{2}{5}x^2 - \frac{1}{3}
    • Д19−425x2\frac{1}{9} - \frac{4}{25}x^2

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Розв’яжіть систему нерівностей {3x−2⩾5x−6,7x+1⩽4x−5.\begin{cases} 3x-2 \ge 5x-6, \\ 7x+1 \le 4x-5. \end{cases}
    • А(−∞;2](-\infty; 2]
    • Б[2;+∞)[2; +\infty)
    • В[−2;2][-2; 2]
    • Г(−∞;−2](-\infty; -2]
    • Д[−2;+∞)[-2; +\infty)

  16. Завдання 16 · відповідність

    На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники ABCABC (AB=BCAB = BC) і CMNCMN (CM=MNCM = MN), що лежать в одній площині. AN=8AN = 8 см, AB=217AB = 2\sqrt{17} см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).Два рівні рівнобедрені трикутники ABC і CMN з основами AC і CN на одній прямій, спільна вершина C; вершини B і M — над прямою
    • 1Відстань від BB до сторони ACAC
    • 2BMBM
    • 3Відстань між серединами сторін ABAB і MNMN
    • А44 см
    • Б66 см
    • В77 см
    • Г88 см
    • Д1010 см

  17. Завдання 17 · відповідність

    На рисунку зображено графік функції y=f(x)y = f(x), визначеної на проміжку [−4;6][-4; 6]. Узгодьте проміжок (1–3) із функцією (А – Д), що описує графік функції y=f(x)y = f(x) на цьому проміжку.Графік функції y = f(x) на проміжку [−4; 6]: від точки (−4; 2) крива спадає до початку координат, далі крива зростає до точки (2; 8), потім відрізок прямої до точки (6; 0)
    • 1[−4;0][-4; 0]
    • 2(0;2](0;2]
    • 3(2;6](2; 6]
    • Аy=x3y=x^3
    • Бy=12−2xy=12-2x
    • Вy=−xy=-\sqrt{x}
    • Гy=x2y=x^2
    • Дy=−xy=\sqrt{-x}

  18. Завдання 18 · відповідність

    Узгодьте вираз (1–3) й точку (А – Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу, де e≈2,7e \approx 2{,}7 – основа натурального логарифма (число Ейлера).Координатна пряма з п’ятьма точками на однаковій відстані: K (−1), L (−0,5), M (0), N (0,5), P (1)
    • 1e⋅12ee \cdot \frac{1}{2e}
    • 2ln⁡2e−ln⁡2\ln 2e - \ln 2
    • 3∣1−e∣−e|1-e|-e
    • АKK
    • БLL
    • ВMM
    • ГNN
    • ДPP

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    Знайдіть усі значення aa, за кожного з яких рівняння x2−4x+33x−a=42+3x−x23x−a\frac{x^2-4x+3}{3x-a}=\frac{42+3x-x^2}{3x-a} має один корінь. Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    Графіком функції y=f(x)y = f(x) є парабола з вершиною в початку координат. Обчисліть f(2,5)f(2{,}5), якщо f′(1)=−4f'(1) = -4.

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    У групі з 2020 учнів 1111 класу провели опитування, щоб з’ясувати, скільки приблизно годин вони витрачають на підготовку до контрольної роботи. Відповіді учнів відображено на діаграмі (див. рисунок). Визначте ймовірність того, що навмання обраний учень з цієї групи витратив на підготовку до контрольної роботи не менше двох годин.Стовпчаста діаграма кількості учнів за часом підготовки (год): 0,5 — 1, 1 — 3, 1,5 — 3, 2 — 5, 2,5 — 4, 3 — 2, 3,5 — 1, 4 — 1

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди, дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює 648π648\pi см². Знайдіть об’єм піраміди (у см³), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом 45∘45^\circ.