НМТ 2024 · Математика · Авторська симуляція №4

Математика · 2024 рік · Авторська симуляція №4 · 22 завдань · 60 хв · Автор: Щоденник Абітурієнта

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    Розташуйте в порядку зростання числа a=tg⁡π4, b=2−1, c=lg⁡0,1a = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4},\ b = 2^{-1},\ c = \lg 0{,}1.
    • Аc,a,bc, a, b
    • Бa,c,ba, c, b
    • Вb,c,ab, c, a
    • Гa,b,ca, b, c
    • Дc,b,ac, b, a

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    У прямокутній системі координат у просторі задано точку MM, що належить площині yzyz (див. рисунок). Укажіть можливі координати вектора OM→\overrightarrow{OM}.Прямокутна система координат у просторі з осями x, y, z і початком O. Точка M лежить у площині осей y і z: пунктиром показано її проєкції на вісь y і на вісь z.
    • А(5;0;0)(5; 0; 0)
    • Б(5;8;0)(5; 8; 0)
    • В(0;8;3)(0; 8; 3)
    • Г(5;8;3)(5; 8; 3)
    • Д(5;0;3)(5; 0; 3)

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    Протягом тижня вимірювали кількість повітряних тривог у деякому місті України. За графіком (див. рисунок) визначте кількість днів, де число повітряних тривог було меншим, ніж у попередній день.Лінійний графік кількості повітряних тривог за днями тижня: понеділок — 7, вівторок — 4, середа — 3, четвер — 5, п'ятниця — 1, субота — 8, неділя — 2.
    • А11
    • Б22
    • В33
    • Г44
    • Д55

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння 3x+7=4\sqrt{3x + 7} = 4.
    • А(−∞;−6](-\infty; -6]
    • Б(−6;−1](-6; -1]
    • В(−1;1](-1; 1]
    • Г(1;6](1; 6]
    • Д(6;+∞)(6; +\infty)

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    У ромбі ABCDABCD відомо, що ∠A=70∘\angle A = 70^\circ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута між висотами, проведеними з вершини BB ромба.Ромб ABCD з кутом A = 70°. З вершини B проведено дві висоти: до сторони AD і до сторони CD; кут між ними позначено знаком питання.
    • А110∘110^\circ
    • Б60∘60^\circ
    • В70∘70^\circ
    • Г80∘80^\circ
    • Д50∘50^\circ

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    Спростіть вираз a2b−ab2a2−b2\frac{a^2b - ab^2}{a^2 - b^2}.
    • Аaba+b\frac{ab}{a + b}
    • Бb−ab - a
    • Вa−ba+b\frac{a - b}{a + b}
    • Гaba−b\frac{ab}{a - b}
    • Дa−ba - b

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    Прокат електросамоката коштує 120120 грн за годину або її частину, і 250250 грн за три години або їх частину. Визначте мінімальну вартість оренди цього електросамоката на 88 годин.
    • А620620 грн
    • Б740740 грн
    • В750750 грн
    • Г870870 грн
    • Д960960 грн

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    Навколо трапеції ABCD (BC∥AD)ABCD\ (BC \parallel AD) можна описати коло. Які з наведених тверджень є правильними?
    I.     AB+CD=BC+ADAB + CD = BC + AD.
    II.     ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ.
    III.     AB=CDAB = CD.
    • Алише I
    • Блише II та III
    • Влише I та III
    • Глише II
    • ДI, II та III

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    На рисунку зображено графік функції y=f(x)y = f(x), визначеної на проміжку [−4;3][-4; 3]. Визначте, у якій із наведених точок похідна функції ff дорівнює нулю.Графік функції y = f(x) на координатній сітці на проміжку від −4 до 3. Починається в точці (−4; 3), спадає до мінімуму в точці (−1; −2), зростає через початок координат до максимуму в точці (1; 3) і спадає до точки (3; 1).
    • А(−3;0)(-3; 0)
    • Б(2;2)(2; 2)
    • В(0;0)(0; 0)
    • Г(2;1)(2; 1)
    • Д(−1;−2)(-1; -2)

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    В арифметичній прогресії (an)(a_n) відомо, що a2=9, a6=a5+3a_2 = 9,\ a_6 = a_5 + 3. Визначте суму шести перших членів цієї прогресії.
    • А2424
    • Б5757
    • В7575
    • Г8181
    • Д9999

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    Розв'яжіть нерівність (x−3)2⩽1(x - 3)^2 \leq 1.
    • А(−∞;2]∪[4;+∞)(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)
    • Б[2;4][2; 4]
    • В(−∞;−4]∪[−2;+∞)(-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)
    • Г(−∞;4](-\infty; 4]
    • Д[−4;−2][-4; -2]

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 2424 см, а діагональ бічної грані дорівнює 828\sqrt{2} см. Визначте площу бічної поверхні цієї призми.
    • А192192 см²
    • Б144144 см²
    • В288288 см²
    • Г7272 см²
    • Д576576 см²

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    Розв'яжіть систему рівнянь {12x=2y,4x+y=2.\begin{cases} \frac{1}{2x} = \frac{2}{y}, \\ 4x + y = 2. \end{cases} Якщо (x0;y0)(x_0; y_0) – розв'язок системи, то x0=x_0 =
    • А25\frac{2}{5}
    • Б14\frac{1}{4}
    • В11
    • Г12\frac{1}{2}
    • Д44

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    Якщо cos⁡2α=16\cos^2\alpha = \frac{1}{6}, то tg⁡2α=\operatorname{tg}^2\alpha =
    • А77
    • Б56\frac{5}{6}
    • В66
    • Г76\frac{7}{6}
    • Д55

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Визначте довжину проєкції сторони ABAB на сторону ACAC трикутника ABCABC, якщо ∠A=30∘, ∠C=45∘, BC=8\angle A = 30^\circ,\ \angle C = 45^\circ,\ BC = 8 см (див. рисунок).Трикутник ABC зі стороною AC унизу. При вершині A позначено кут 30°, при вершині C — кут 45°.
    • А424\sqrt{2} см
    • Б44 см
    • В434\sqrt{3} см
    • Г464\sqrt{6} см
    • Д88 см

  16. Завдання 16 · відповідність

    Установіть відповідність між функцією (1–3) та кількістю спільних точок (А – Д) її графіка з віссю xx.
    • 1y=sin⁡xy = \sin x
    • 2y=x2−4y = x^2 - 4
    • 3y=1x+2y = \frac{1}{x + 2}
    • Ажодної
    • Блише одна
    • Влише дві
    • Глише три
    • Дбезліч

  17. Завдання 17 · відповідність

    До кожного виразу (1–3) доберіть твердження про його значення (А – Д), яке є правильним, якщо a=−45a = -\frac{4}{5}.
    • 1∣a∣|a|
    • 24a\frac{4}{a}
    • 34log⁡2(−a)4^{\log_2(-a)}
    • Адорівнює дробу 0,80{,}8
    • Бє від’ємним не цілим числом
    • Вналежить проміжку (14;8273)\left(\sqrt{\frac{1}{4}}; \sqrt[3]{\frac{8}{27}}\right)
    • Гє цілим числом
    • Дбільше 11

  18. Завдання 18 · відповідність

    У прямокутник ABCDABCD вписано рівносторонній трикутник AMDAMD (див. рисунок), сторона якого дорівнює 44 см. Увідповідніть відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).Прямокутник ABCD, точка M — на стороні BC. Рівносторонній трикутник AMD, усі його сторони позначено рисками.
    • 1середня лінія трапеції AMCDAMCD
    • 2ABAB
    • 3діагональ прямокутника ABCDABCD
    • А3\sqrt{3} см
    • Б33 см
    • В232\sqrt{3} см
    • Г19\sqrt{19} см
    • Д272\sqrt{7} см

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    Визначте для функції f(x)=2x−1xf(x) = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}} первісну F(x)F(x), графік якої проходить через точку (4;3)(4; 3). У відповідь запишіть значення F(9)F(9).

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    Директор ІТ-компанії, що налічує 1212 працівників, має призначити заступника директора, секретаря та двох менеджерів для оптимізації роботи та розвитку бізнесу. Скількома способами він може це зробити?

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    Переріз кулі площиною має площу 144π144\pi. Знайдіть об'єм VV кулі, якщо відстань від центра кулі до площини перерізу на 66 менше за радіус кулі. У відповідь запишіть значення Vπ\frac{V}{\pi}.

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Знайдіть найменше ціле значення aa, за якого добуток коренів рівняння log⁡52x−(a+2)log⁡5x+2a=0\log_5^2 x - (a + 2)\log_5 x + 2a = 0 належить проміжку (125;5)\left(\frac{1}{25}; 5\right).