НМТ 2024 · Математика · Демонстраційний варіант

Математика · 2024 рік · Демонстраційний варіант · 22 завдань · 60 хв · Автор: УЦОЯО

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло 145145 дзвінків, а за другу годину – на 1717 дзвінків більше. Скільки всього дзвінків надійшло на телефон гарячої лінії за дві години роботи?
    • А307307
    • Б290290
    • В287287
    • Г273273
    • Д162162

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    О шостій годині ранку визначено температуру повітря на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці.

    Температура (у градусах)134xКількість метеостанцій2341\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Температура (у градусах)} & 1 & 3 & 4 & x \\ \hline \text{Кількість метеостанцій} & 2 & 3 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}

    Визначте     xx, якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює 3,5∘3{,}5^\circ.
    • Аx=5x = 5
    • Бx=6x = 6
    • Вx=7x = 7
    • Гx=8x = 8
    • Дx=9x = 9

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    На рисунку зображено пряму трикутну призму. Її бічною гранню єПряма трикутна призма з вертикальними бічними ребрами
    • Атрикутник
    • Бпрямокутник
    • Ввідрізок
    • Гпаралелограм, що не є прямокутником
    • Дромб, що не є квадратом

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Якщо m=n−1m = n - 1, то 7−m=7 - m =
    • Аn−8n - 8
    • Б6−n6 - n
    • В8−n8 - n
    • Гn−6n - 6
    • Д6+n6 + n

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    Кола із центрами в точках OO і O1O_1 мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань OO1OO_1, якщо радіуси кіл дорівнюють 1212 см і 88 см.Два кола з центрами O і O₁, менше коло всередині більшого й дотикається до нього
    • А1,51{,}5 см
    • Б22 см
    • В33 см
    • Г44 см
    • Д88 см

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    Розв’яжіть нерівність 0,2x−54<00{,}2x - 54 < 0.
    • А(−∞;270)(-\infty; 270)
    • Б(270;+∞)(270; +\infty)
    • В(−∞;2,7)(-\infty; 2{,}7)
    • Г(−∞;27)(-\infty; 27)
    • Д(10,8;+∞)(10{,}8; +\infty)

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    На рисунку зображено графік функції y=f(x)y = f(x), визначеної на проміжку [1;8][1; 8]. Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?Графік функції y = f(x) на клітчастій координатній площині від x = 1 до x = 8: починається нижче осі абсцис, перетинає її один раз, далі має дві вершини й два прогини над віссю
    • Ажодного
    • Бодин
    • Вдва
    • Гтри
    • Дчотири

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    Спростіть вираз a(a+2b)−(a+b)2a(a + 2b) - (a + b)^2.
    • А4ab+b24ab + b^2
    • Б4ab−b24ab - b^2
    • В−b2-b^2
    • Г2ab−b22ab - b^2
    • Дb2b^2

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    У трикутнику ABCABC кут BB – тупий. Які з наведених тверджень є правильними?
    I.     ∠A+∠C<90∘\angle A + \angle C < 90^\circ.
    II.     AB+BC<ACAB + BC < AC.
    III. Центр кола, описаного навколо трикутника     ABCABC, лежить поза його межами.
    • Алише I та II
    • Блише І
    • Влише II та III
    • ГI, II та III
    • Длише I та III

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    Якщо a<1a < 1, то ∣a−1∣+∣−7∣=|a - 1| + |-7| =
    • Аa−8a - 8
    • Бa+6a + 6
    • В−a+6-a + 6
    • Г−a−6-a - 6
    • Д−a+8-a + 8

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    Розв’яжіть систему рівнянь {x+y=5,4x=16−1.\begin{cases} x + y = 5, \\ 4^x = 16^{-1}. \end{cases} Якщо (x0;y0)(x_0; y_0) – розв’язок цієї системи, то x0⋅y0=x_0 \cdot y_0 =
    • А−36-36
    • Б−14-14
    • В−6-6
    • Г44
    • Д66

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 7272 см. Обчисліть довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 1515 см.
    • А66 см
    • Б99 см
    • В1010 см
    • Г1212 см
    • Д1414 см

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log⁡13(x+1)=−2\log_{\frac{1}{3}} (x + 1) = -2.
    • А(−11;−2](-11; -2]
    • Б(−2;1](-2; 1]
    • В(1;4](1; 4]
    • Г(4;7](4; 7]
    • Д(7;9](7; 9]

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    У паралелограмі ABCDABCD: AB=6AB = \sqrt{6} см, ∠BAD=30∘\angle BAD = 30^\circ, ∠CBD=45∘\angle CBD = 45^\circ (див. рисунок). Обчисліть довжину діагоналі BDBD.Паралелограм ABCD: сторона AB = √6, кут при вершині A дорівнює 30°, діагональ BD позначена знаком питання, кут між BC і BD дорівнює 45°
    • А232\sqrt{3} см
    • Б33 см
    • В2\sqrt{2} см
    • Г22 см
    • Д3\sqrt{3} см

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Укажіть похідну функції f(x)=x(x3+1)f(x) = x(x^3 + 1).
    • Аf′(x)=4x3+1f'(x) = 4x^3 + 1
    • Бf′(x)=4x3f'(x) = 4x^3
    • Вf′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
    • Гf′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1
    • Дf′(x)=x55+x22f'(x) = \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^2}{2}

  16. Завдання 16 · відповідність

    До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    • 1Функція y=x−4y = \sqrt{x - 4}
    • 2Функція y=2y = 2
    • 3Функція y=x3y = x^3
    • Аспадає на проміжку (−∞;0)(-\infty; 0).
    • Бне визначена в точці x=1x = 1.
    • Внабуває від’ємного значення в точці x=8x = 8.
    • Гнабуває додатного значення в точці x=−3x = -3.
    • Дє непарною.

  17. Завдання 17 · відповідність

    Установіть відповідність між виразом (1–3) і тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо aa – довільне додатне число, a≠1a \ne 1.
    • 1a4:a3a^4 : a^3
    • 2a2−a1−a\dfrac{a^2 - a}{1 - a}
    • 37−log⁡7a7^{-\log_7 a}
    • Аa2a^2
    • Бa7a^7
    • В1a\dfrac{1}{a}
    • Г−a-a
    • Дaa

  18. Завдання 18 · відповідність

    Квадрат ABCDABCD та прямокутна трапеція BMNCBMNC лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює 3636 см², AM=15AM = 15 см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).Квадрат ABCD, над його стороною BC — прямокутна трапеція BMNC: точка M над B на продовженні AB, відрізок MN паралельний BC і коротший за нього, NC — похила бічна сторона
    • 1сторона квадрата ABCDABCD
    • 2висота трапеції BMNCBMNC
    • 3менша основа трапеції BMNCBMNC
    • А22
    • Б33
    • В44
    • Г66
    • Д99

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    На рисунку зображено фрагмент частини поперечного перерізу стосу дерев’яних колод. У нижньому ряду стосу 1313 колод, а у верхньому – одна. Визначте загальну кількість колод у цьому стосі.Фрагмент стосу колод у формі трикутника: п’ять рядів, у верхньому одна колода, у кожному нижчому на одну більше

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 66 різних новин: 22 політичні, 33 суспільні та 11 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 66 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина має бути останньою? Уважайте, що кожна з цих 66 новин у стрічці не повторюватиметься.

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    У прямокутній системі координат у просторі задано вектор AB→(−3;8;1)\overrightarrow{AB}(-3; 8; 1) і точку B(7;−2;0)B(7; -2; 0), точка OO – початок координат. Обчисліть скалярний добуток OA→⋅AB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB}.

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Визначте найменше значення aa, за якого має корені рівняння sin⁡(x+π3)=2a2+5a−6\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = 2a^2 + 5a - 6.