НМТ 2023 · Математика · Основна сесія, варіант 1

Математика · 2023 рік · Основна сесія, варіант 1 · 22 завдань · 60 хв · Автор: УЦОЯО

Показати всі 22 завдання

  1. Завдання 1 · одна відповідь

    Для облаштування кафе було придбано столи і стільці у співвідношенні 1:31:3 відповідно. Укажіть діаграму, на якій правильно відображено розподіл придбаних столів і стільців.

    Синім кольором на діаграмах позначено столи, білим — стільці.
    • АДіаграма А
      • Діаграма А
    • БДіаграма Б
      • Діаграма Б
    • ВДіаграма В
      • Діаграма В
    • ГДіаграма Г
      • Діаграма Г
    • ДДіаграма Д
      • Діаграма Д

  2. Завдання 2 · одна відповідь

    2(5x+6)=2(5x + 6) =
    • А5x+85x + 8
    • Б10x+610x + 6
    • В7x+87x + 8
    • Г7x+127x + 12
    • Д10x+1210x + 12

  3. Завдання 3 · одна відповідь

    Точки AA і BB лежать на колі радіуса 1616. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка ABAB.
    • А44
    • Б88
    • В1616
    • Г3232
    • Д6464

  4. Завдання 4 · одна відповідь

    Розв’яжіть нерівність x+3⩽0x + 3 \le 0.
    • А[0;3][0; 3]
    • Б(−∞;3](-\infty; 3]
    • В(−∞;−3](-\infty; -3]
    • Г(3;+∞](3; +\infty]
    • Д(−3;+∞](-3; +\infty]

  5. Завдання 5 · одна відповідь

    Визначте координати вектора, який є сумою векторів a⃗(2;−2;3)\vec{a}(2; -2; 3) і b⃗(−7;−3;4)\vec{b}(-7; -3; 4).
    • А(9;1;−1)(9; 1; -1)
    • Б(−5;−5;7)(-5; -5; 7)
    • В(−9;−1;1)(-9; -1; 1)
    • Г(5;5;7)(5; 5; 7)
    • Д(−5;1;7)(-5; 1; 7)

  6. Завдання 6 · одна відповідь

    На рисунку зображено графік функції y=f(x)y = f(x), визначеної на проміжку [−3;3][-3; 3]. Укажіть нуль цієї функції.Графік функції y = f(x) на клітчастій площині на проміжку від −3 до 3: зростає від від’ємного значення в точці −3, перетинає вісь x, досягає максимуму між 1 і 3 і трохи спадає до x = 3
    • А−3-3
    • Б−2-2
    • В00
    • Г33
    • Д44

  7. Завдання 7 · одна відповідь

    Плату за користування комп’ютерною програмою підвищили зі 140140 грн у 2021 р. до 161161 грн у 2022 р. На скільки відсотків збільшили плату у 2022 р. порівняно із 2021 р.?
    • А1010
    • Б1515
    • В2121
    • Г8585
    • Д115115

  8. Завдання 8 · одна відповідь

    Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…
    • Аквадрата навколо його сторони».
    • Бпрямокутника навколо його діагоналі».
    • Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».
    • Гпрямокутного трикутника навколо його катета».
    • Дквадрата навколо його діагоналі».

  9. Завдання 9 · одна відповідь

    Обчисліть (17⋅73)3\left(\dfrac{1}{7} \cdot \sqrt[3]{7}\right)^3.
    • А2727
    • Б17\dfrac{1}{7}
    • В11
    • Г149\dfrac{1}{49}
    • Д4949

  10. Завдання 10 · одна відповідь

    Які з наведених тверджень є правильними?
    I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
    II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
    III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
    • Алише III
    • Блише I та III
    • Влише I та II
    • Глише II та III
    • ДI, II та III

  11. Завдання 11 · одна відповідь

    Розв’яжіть систему рівнянь {13y=2x,x−y=30.\begin{cases} \dfrac{1}{3y} = \dfrac{2}{x}, \\ x - y = 30. \end{cases} Якщо (x0;y0)(x_0; y_0) – розв’язок системи, то x0+y0=x_0 + y_0 =
    • А−150-150
    • Б3535
    • В3636
    • Г4242
    • Д150150

  12. Завдання 12 · одна відповідь

    Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t)=6t2x(t) = 6t^2, де x(t)x(t) – координата точки, tt – час. За якою формулою визначають швидкість v(t)v(t) цієї матеріальної точки в будь-який момент часу tt?
    • Аv(t)=6tv(t) = 6t
    • Бv(t)=12tv(t) = 12t
    • Вv(t)=2t3v(t) = 2t^3
    • Гv(t)=6t3v(t) = 6t^3
    • Дv(t)=3tv(t) = 3t

  13. Завдання 13 · одна відповідь

    У паралелограмі ABCDABCD ∠A=30∘\angle A = 30^\circ, бічна сторона AB=12AB = 12 см. Сторона ADAD втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см²) цього паралелограма.Паралелограм ABCD, кут A дорівнює 30°, з вершини B проведено висоту до сторони AD
    • А5454
    • Б54354\sqrt{3}
    • В108108
    • Г1083108\sqrt{3}
    • Д216216

  14. Завдання 14 · одна відповідь

    Спростіть вираз a2+ab(a+b)2−2a+ba+b\dfrac{a^2 + ab}{(a + b)^2} - \dfrac{2a + b}{a + b}.
    • А11
    • Бa−ba+b\dfrac{a - b}{a + b}
    • Вb−aa+b\dfrac{b - a}{a + b}
    • Г3a+ba+b\dfrac{3a + b}{a + b}
    • Д−1-1

  15. Завдання 15 · одна відповідь

    Укажіть корінь рівняння sin⁡4x=−1\sin 4x = -1.
    • А3π8\dfrac{3\pi}{8}
    • Бπ8\dfrac{\pi}{8}
    • Вπ4\dfrac{\pi}{4}
    • Г−π4-\dfrac{\pi}{4}
    • Д−π2-\dfrac{\pi}{2}

  16. Завдання 16 · відповідність

    Узгодьте твердження (1–3) із функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.
    • 1областю значень функції є проміжок [0;+∞)[0; +\infty)
    • 2графік функції симетричний відносно осі yy
    • 3найменшого значення на відрізку [1;4][1; 4] функція набуває в точці x=4x = 4
    • Аy=x2+4y = x^2 + 4
    • Бy=xy = x
    • Вy=xy = \sqrt{x}
    • Гy=log⁡0,5xy = \log_{0{,}5} x
    • Дy=−1xy = -\dfrac{1}{x}

  17. Завдання 17 · відповідність

    До початку речення (1–3) доберіть закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо nn – натуральне число.
    • 1Якщо na=3\dfrac{n}{a} = 3, то
    • 2Якщо 1+log⁡3n=log⁡3a1 + \log_3 n = \log_3 a, то
    • 3Якщо 3n⋅3=3a3^n \cdot 3 = 3^a, то
    • Аa=3na = 3n.
    • Бa=n+1a = n + 1.
    • Вa=n+3a = n + 3.
    • Гa=3na = \dfrac{3}{n}.
    • Дa=n3a = \dfrac{n}{3}.

  18. Завдання 18 · відповідність

    У прямокутному трикутнику ACBACB ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, ∠B=24∘\angle B = 24^\circ. На продовженні катета ACAC вибрано точку KK так, що AK=KBAK = KB. Точка OO – центр кола, описаного навколо трикутника ACBACB. Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).
    • 1∠BAC\angle BAC
    • 2∠KBC\angle KBC
    • 3∠OKB\angle OKB
    • А24∘24^\circ
    • Б34∘34^\circ
    • В42∘42^\circ
    • Г66∘66^\circ
    • Д72∘72^\circ

  19. Завдання 19 · коротка відповідь

    Число 2727 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5d = 5. Визначте числа з проміжку (60;75)(60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.

  20. Завдання 20 · коротка відповідь

    Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із 55 книг, у якому 22 збірники олімпіадних задач та 33 науково-популярні книги. Скільки всього варіантів формування такого комплекту книг, якщо є 88 різних збірників та 1010 різних науково-популярних книг?

  21. Завдання 21 · коротка відповідь

    Основою прямої призми є ромб зі стороною 2020. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 5858. Визначте об’єм призми, якщо її висота дорівнює 55.

  22. Завдання 22 · коротка відповідь

    Визначте кількість цілих значень aa, за яких корені x1x_1 та x2x_2 квадратного рівняння x2−4ax+4a2−25=0x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0 задовольняють умову x1<1<x2x_1 < 1 < x_2.